4.1 Die reellen Zahlen

Die reellen Zahlen

1. Die reellen Zahlen sind ein Körper $K$.
2. Die reellen Zahlen sind kleinster angeordneter Körper für die gilt:

• Aus $a<b$ und $b<c$ folgt $a<c$.
• Aus $a<b$ folgt $a+c<b+c$.
• Aus $a<b$ und $c>0$ folgt $ac<bc$.

3. Die reellen Zahlen sind ordnungsvollständig, d. h. jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge von $\mathbb{R}$ besitzt ein Supremum in $\mathbb{R}$.

Vollständigkeitsaxiom

Jede nichtleere Teilmenge, die eine obere Schranke besitz, hat ein Supremum

Die Betragsfunktion

Die Betragsfunktion ist eine Abbildung $|\cdot |:\mathbb{R}\to \mathbb{R},$
die jedem reellen $x$ seinen »Abstand« zur Null zuordnet:

$$|x|:=\{\begin{array}{ll}x,& \text{falls }x\ge 0,\\ -x,& \text{falls }x<0.\end{array}$$

Typische Rechenregeln, die man sich merken sollte

• für alle $x\in \mathbb{R}$:
  1. $|x|\ge 0$.
  2. $|x|=0⟺x=0$.
  3. $|-x|=|x|$.
  4. $|x\cdot y|=|x|\cdot |y|$.
  5. $|x+y|\le |x|+|y|$ (Dreiecksungleichung).

Intervalle und Halbstrahlen

Um Teilmengen der reellen Zahlen präzise zu beschreiben, nutzt man folgende Intervalle:

• Offenes Intervall $(a,b)$: $(a,b)=\{x\in \mathbb{R}:a<x<b\}.$
• Abgeschlossenes Intervall $[a,b]$: $[a,b]=\{x\in \mathbb{R}:a\le x\le b\}.$
• Halboffene Intervalle $(a,b]$ oder $[a,b)$, je nachdem welche Seite offen bzw. abgeschlossen ist.

Halbstrahlen:

• $[a,\mathrm{\infty })$, $(a,\mathrm{\infty })$
• $(-\mathrm{\infty },b]$, $(-\mathrm{\infty },b)$

Häufig definiert man spezielle Teilmengen der reellen Zahlen:

• ${\mathbb{R}}_{+}=\{x\in \mathbb{R}:x\ge 0\}$, also die nichtnegativen reellen Zahlen (inklusive 0).
• ${\mathbb{R}}_{-}=\{x\in \mathbb{R}:x\le 0\}$, also die nichtpositiven reellen Zahlen (inklusive 0).

Manchmal trifft man auch auf die strikte Variante ${\mathbb{R}}_{>0}$ bzw. ${\mathbb{R}}_{<0}$, die dann tatsächlich nur die positiven bzw. negativen Zahlen enthält.