3.3 Normierte Räume

Motivation: Längen und Abstände in Vektorräumen

Ziel dieses Abschnitts ist es, in reellen Vektorräumen Längen und Abstände zu definieren.

Hinweis: Dieselben Konzepte gelten mit kleineren Anpassungen auch für komplexe Vektorräume – wir beschränken uns hier jedoch auf den reellen Fall.

1. Definition: Norm

Sei $V$ ein reeller Vektorraum. Eine Abbildung $\parallel \cdot \parallel :V\to \mathbb{R}$ heißt Norm, wenn sie folgende Axiome erfüllt:

1. Definitheit
   • Für alle $v\in V$ gilt $\parallel v\parallel \ge 0$.
   • $\parallel v\parallel =0⟺v=0$.
2. Homogenität
   • Für alle $\alpha \in \mathbb{R}$ und $v\in V$ gilt $\parallel \alpha v\parallel =|\alpha |\parallel v\parallel .$
3. Dreiecksungleichung
   • Für alle $v,w\in V$ gilt $\parallel v+w\parallel \le \parallel v\parallel +\parallel w\parallel .$

Ein Vektorraum, der mit einer Norm $\parallel \cdot \parallel$ ausgestattet ist, heißt normierter Raum.

2. Beispiele für Normen

Betragsfunktion $|\cdot |$ in $\mathbb{R}$

In $\mathbb{R}$ ist die Abbildung $x\mapsto |x|$ eine Norm, da alle drei Axiome erfüllt werden:

1. $|x|\ge 0$ und $|x|=0⟺x=0$.
2. $|\alpha x|=|\alpha ||x|$.
3. $|x+y|\le |x|+|y|$.

2.1 Euklidische Norm (2-Norm) in ${\mathbb{R}}^n$

Für $x=(x_1,\dots ,x_n{)}^{\mathsf{T}}\in {\mathbb{R}}^n$ definiert man $\parallel x{\parallel }_2:=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\dots +x_n^2}=\sqrt{\sum _{j=1}^n{x}_j^2}.$

1. Definitheit: $\parallel x{\parallel }_2\ge 0$. Falls $\parallel x{\parallel }_2=0$, so folgt $x=0$.
2. Homogenität: $\parallel \alpha x{\parallel }_2=|\alpha |\parallel x{\parallel }_2$.
3. Dreiecksungleichung: $\parallel x+y{\parallel }_2\le \parallel x{\parallel }_2+\parallel y{\parallel }_2.$

INFO

Dies entspricht unserem »Alltagsbegriff von Länge/Abstand« in ${\mathbb{R}}^n$.

2.2 1-Norm in ${\mathbb{R}}^n$

Für $x=(x_1,\dots ,x_n{)}^{\mathsf{T}}\in {\mathbb{R}}^n$ definiert man $\parallel x{\parallel }_1:=|x_1|+|x_2|+\dots +|x_n|.$

1. $\parallel x{\parallel }_1\ge 0$ und $\parallel x{\parallel }_1=0⟺x=0$.
2. $\parallel \alpha x{\parallel }_1=|\alpha |\parallel x{\parallel }_1$.
3. $\parallel x+y{\parallel }_1\le \parallel x{\parallel }_1+\parallel y{\parallel }_1$.

2.3 Maximumsnorm $\mathrm{\infty }$-Norm in ${\mathbb{R}}^n$

Für $x=(x_1,\dots ,x_n{)}^{\mathsf{T}}\in {\mathbb{R}}^n$ definiert man
$\parallel x{\parallel }_{\mathrm{\infty }}:=max\{|x_1|,\dots ,|x_n|\}.$

1. $\parallel x{\parallel }_{\mathrm{\infty }}\ge 0$ und $\parallel x{\parallel }_{\mathrm{\infty }}=0⟺x=0$.
2. $\parallel \alpha x{\parallel }_{\mathrm{\infty }}=|\alpha |\parallel x{\parallel }_{\mathrm{\infty }}$.
3. $\parallel x+y{\parallel }_{\mathrm{\infty }}\le \parallel x{\parallel }_{\mathrm{\infty }}+\parallel y{\parallel }_{\mathrm{\infty }}$.

3. Abstand und Metrik

Im normierten Raum $(V,\parallel \cdot \parallel )$ definiert man den Abstand zwischen zwei Punkten (Vektoren) $u,v\in V$ als:
$\mathrm{dist}(u,v):=\parallel u-v\parallel .$\

Allgemein für Teilmengen $A,B\subseteq V$ gilt:
$\mathrm{dist}(A,B):=inf\{\parallel a-b\parallel \mid a\in A,b\in B\}.$

4. Skalarprodukte und ihre induzierte Norm

Zusammenfassung

Ein Skalarprodukt ist eine Rechenvorschrift, die zwei Vektoren eine Zahl zuordnet und dabei Länge und Winkel zwischen ihnen beschreibt.
Es ermöglicht die Definition der Länge eines Vektors und gibt an, ob zwei Vektoren senkrecht zueinander stehen ($(x\mid y)=0$).

Die Cauchy–Schwarz-Ungleichung besagt, dass das Skalarprodukt zweier Vektoren höchstens so groß ist wie das Produkt ihrer Längen, also $|(v\mid w)|\le \parallel v\parallel \parallel w\parallel$, wodurch ein Zusammenhang zwischen Winkel und Länge hergestellt wird.

Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt null ist, und eine Orthogonalbasis besteht aus paarweise orthogonalen Vektoren, die den gesamten Raum aufspannen.

Ein Skalarprodukt $(\cdot \mid \cdot )$ auf einem reellen Vektorraum $V$ ist eine Abbildung
$(\cdot \mid \cdot ):V\times V\to \mathbb{R}$

mit den Axiomen:

1. Positivität: $(x\mid x)\ge 0$ für alle $x\in V$ und $(x\mid x)=0⟺x=0$.
2. Symmetrie: $(x\mid y)=(y\mid x)$.
3. Linearität im 1. Argument: $(\alpha x+\beta y\mid z)=\alpha (x\mid z)+\beta (y\mid z)$.

Anmerkung: Aus (SP2) folgt, dass auch im 2. Argument Linearität gilt, wenn man reelle Skalarprodukte betrachtet.

Cauchy–Schwarz-Ungleichung

Ein Skalarprodukt induziert eine Norm durch
$\parallel x\parallel :=\sqrt{(x\mid x)}.$

Dabei gilt die Cauchy–Schwarz-Ungleichung:
$|(v\mid w)|\le \parallel v\parallel \parallel w\parallel ,$

mit Gleichheit genau dann, wenn $v$ und $w$ linear abhängig sind.

Orthogonalität und Orthonormalbasen

• Zwei Vektoren $v,w$ heißen orthogonal (bzw. senkrecht), wenn $(v\mid w)=0$.
• Eine Basis $\{b_1,\dots ,b_n\}$ heißt Orthogonalbasis, wenn jedes Basispaar orthogonal ist.
• Ist zusätzlich $\parallel b_j\parallel =1$ für alle $j$, spricht man von einer Orthonormalbasis.

Satz: Jeder reelle Skalarproduktraum besitzt eine Orthonormalbasis (Beweis: mittels Gram–Schmidt-Verfahren).