3.1 Vektorräume

Allgemeine Definition

• Ein Vektorraum ist eine algebraische Struktur. Vektorräume bilden den zentralen Untersuchungsgegenstand der linearen Algebra.

• Die Elemente eines Vektorraums heißen Vektoren. Sie können addiert oder mit Skalaren (Zahlen) multipliziert werden.

• Das Ergebnis ist wieder ein Vektor desselben Vektorraums.

Definition

Sei $V$ eine Menge und $K$ ein Körper. zusammen haben sie zwei Verknüpfungen:

• Vektoraddition: $+:V\times V\to V$
• Skalarmultiplikation: $\cdot :K\times V\to V$

Die Menge $V$ wird Vektorraum über $K$ oder $K$-Vektorraum genannt, wenn folgende Axiome erfüllt sind:

• Eine Menge $V$ mit Elementen $u,v,w\in V$ (Vektoren)
• Ein Körper $K$ mit Elementen $\alpha ,\beta \in K$ (Skalare)

• Vektoraddition

  Die Menge $(V,+)$ ist eine abelsche Gruppe:

  1. Assoziativität: $(v+w)+u=v+(w+u)$
  2. Kommutativität: $v+w=w+v$
  3. Neutrales Element: Es existiert ein Nullvektor $0_V\in V$, sodass $v+0_V=v,\text{ für alle }v\in V$
  4. Inverses Element: Für jedes $v\in V$ existiert ein $-v\in V$ mit $v+(-v)=0_V$

• Skalarmultiplikation

  Für $V(,+,\cdot )$ gilt:

  1. Assoziativität: $(\alpha \beta )v=\alpha (\beta v)$
  2. Distributivität über die Vektoraddition: $\alpha (v+w)=\alpha v+\alpha w$
  3. Distributivität über die Skalarmultiplikation: $(\alpha +\beta )v=\alpha v+\beta v$
  4. Neutrales Skalar: $1v=v\text{für alle }v\in V$

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Beispiel: Der Vektorraum $K^n$ der $n$-Tupel

Sei $K$ ein Körper und $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ eine natürliche Zahl ohne Null. Dann ist der Vektorraum $K^n$ definiert als

$K^n:=\underset{n\text{ mal}}{\underbrace{K\times K\times \cdots \times K}}=\{\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)\mid x_j\in K\text{ für }j=1,2,\dots ,n\}$

mit den Verknüpfungen:

• Vektoraddition für $x,y\in K^n$:

$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_1+y_1\\ x_2+y_2\\ ⋮\\ x_n+y_n\end{array}\right)$

• Skalarmultiplikation für $\alpha \in K$ und $x\in K^n$:

$\alpha \cdot \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\alpha x_1\\ \alpha x_2\\ ⋮\\ \alpha x_n\end{array}\right)$

Dieser Vektorraum ist ein $K$-Vektorraum, wobei der Nullvektor durch

$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)$

gegeben ist.

• Falls $K=\mathbb{R}$, so nennt man ${\mathbb{R}}^n$ den Standardvektorraum.