Kapitel 5 – Analysis II

5.1 Differenzierbarkeit von Funktionen in einer Variablen

• Ableitungsbegriff für reelle Funktionen $f:I\to \mathbb{R}$, wobei $I\subseteq \mathbb{R}$ ein Intervall ist
• Definition der Differenzierbarkeit über Grenzwerte
• Zusammenhang zwischen Stetigkeit und Differenzierbarkeit (aber nicht umkehrbar)
• Ableitung der Exponentialfunktion als Beispiel
• Ableitungsregeln: Linearität, Produkt-, Quotienten-, Kettenregel
• Höhere Ableitungen, Wendepunkte
• Begriffe wie »stetig differenzierbar«, »$n$-mal differenzierbar«, »beliebig oft differenzierbar«

5.2 Eigenschaften differenzierbarer Funktionen

• Mittelwertsatz der Differentialrechnung
• Spezialfall: Satz von Rolle
• Voraussetzungen, geometrische Interpretation und Anwendungen

5.3 Extremwerte

• Definition globales / relatives Maximum und Minimum
• Extremstellen über Ableitungen bestimmen
• Begriffe: normierter $\mathbb{R}$-Vektorraum, innerer Punkt

5.4 Integration in $\mathbb{R}$

• Einführung des bestimmten Integrals (Riemann-Integral)
• Zerlegung, Ober- und Untersummen, unteres und oberes Integral
• Riemann-Integrierbarkeit und Flächeninhalt unter dem Graphen
• Rechenregeln: Monotonie, Linearität, Additivität, Dreiecksungleichung
• Stammfunktionen und Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
• Unbestimmtes Integral als Menge aller Stammfunktionen
• Beispiele: $\int e^x$, $\int \sin x$, $\int x^n$, $\int \frac{1}{x}$

5.5 Integrationstechniken

• Produktregel für Integrale
• Partielle Integration (mit Beispiel: $x{e}^x$)
• Substitutionsregel