4.2 Wurzeln, Fakultäten, Binomialkoeffizienten

Ganzzahlige Potenzen

Sei $x\in \mathbb{R},x\ne 0$ und $n\in \mathbb{N}$:

1. $x^n$ ist das $n$-fache Produkt von $x$ mit sich selbst: $x^n=\underset{n\text{-mal}}{\underbrace{x\cdot x\cdot \cdots \cdot x}}$

2. $x^{-n}$ ist die Kehrwert-Potenz: $x^{-n}=\frac{1}{x^n}$

3. $x^0=1$, unabhängig davon, welchen Wert $x\ne 0$ hat.

Existenzsatz für n-te Wurzeln

Für alle $a\in {\mathbb{R}}_{+}$ (positive reelle Zahlen) und $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ (natürliche Zahl > 0),
existiert genau ein $x\in {\mathbb{R}}_{+}$ mit: $x^n=a.$

Definition: n-te Wurzel

• n-te Wurzel von $a$ (mit $a\in {\mathbb{R}}_{+},n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$) ist die eindeutig bestimmte positive Zahl $x$, sodass $x^n=a$.
• Notation:$x=\sqrt[n]{a}.$
• Spezialfall: Für $n=2$ wird häufig $\sqrt{a}$ statt $\sqrt[2]{a}$ geschrieben.

Rationale Potenzen

Für einen rationalen Exponenten $q=\frac{m}{n}$ (mit $m\in \mathbb{Z}$, $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$) definiert man:

$$x^q=x^{\frac{m}{n}}:=\sqrt[n]{x^m}.$$

Es gelten die gewohnten Rechenregeln für Potenzen auch für rationale Exponenten

$$x^a\cdot x^b=x^{a+b}$$$$(x^a{)}^b=x^{ab}$$

Rechenregeln für Potenzen

Für $x,y\in {\mathbb{R}}_{+}\setminus \{0\}$, $p,q\in \mathbb{Q}$ gelten folgende Rechenregeln:

1. Multiplikation gleicher Basis: $x^p\cdot x^q=x^{p+q}$

2. Multiplikation gleicher Exponenten: $x^p\cdot y^p=(xy{)}^p$

3. Potenz einer Potenz: $(x^p{)}^q=x^{pq}$

4. Division gleicher Basis: $\frac{x^p}{x^q}=x^{p-q}$

5. Division gleicher Exponenten: $\frac{x^p}{y^p}={\left(\frac{x}{y}\right)}^p$

Fakultät

Für eine natürliche Zahl $n\in \mathbb{N}$ ist die Fakultät definiert als:

$$n!=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \cdots \cdot 2\cdot 1,$$

Konvention: $0!:=1$

Binomialkoeffizient

Der Binomialkoeffizient »$n$ über $k$« (für $k\in \{0,1,\dots ,n\}$) ist:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$$

Zentrale Sätze zu Binomialkoeffizienten und Potenzen

1. Eigenschaften der Binomialkoeffizienten:

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})=1,(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})=1,(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k-1})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k}).$$

2. Formel für $a^{n+1}-b^{n+1}$:

   $$a^{n+1}-b^{n+1}=(a-b)\sum _{k=0}^n{a}^{n-k}{b}^k.$$

3. Binomialformel (für $(a+b{)}^n$):

   $$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^{n-k}{b}^k.$$