4.3 Konvergenz von Folgen

1. Grundlegende Begriffe: Was ist eine Folge?

Eine Folge in einer beliebigen Menge $X$ ist eine Abbildung

$$a:\mathbb{N}\to X,n\mapsto a(n).$$

• Oft schreibt man anstelle von $a(n)$ das Symbol $a_n$.
• Man nennt dann $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ oder vereinfacht $(a_n)$ eine Folge.
• Je nachdem, welcher Index als Anfang verwendet wird, kann man auch $(a_n{)}_{n\ge 0}$ oder $(a_n{)}_{n\ge 1}$ oder $(a_n{)}_{n\ge 4}$ schreiben.

Außerdem:

• Wenn $X=\mathbb{R}$, dann ist $(a_n)$ eine reelle Folge.
• Wenn $X=\mathbb{C}$, dann ist $(a_n)$ eine komplexe Folge.

WARNING

In diesem Abschnitt nur: $X\subseteq K$ für $K\in \{\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{Q}\}$.

2. Der Konvergenzbegriff

Um zu beschreiben, dass sich die Folgenglieder $(a_n)$ »einem bestimmten Wert nähern«, spricht man von Konvergenz.

2.1 Formale Definition

Sei $(a_n)$ eine Folge in $K$ und sei $a\in K$.

1. Man sagt, $(a_n)$ konvergiert gegen $a$, wenn für jedes $\epsilon >0$ ein $n_0\in \mathbb{N}$ existiert, so dass$$|a_n-a|<\epsilon \text{für alle }n\ge n_0.$$
2. Dann ist $a$ der Grenzwert oder Limes der Folge $(a_n)$ und schreibt dafür:$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a\text{oder}{a}_n\to a(n\to \mathrm{\infty }).$$
3. Falls keine solche Zahl $a$ existiert, spricht man von einer divergenten Folge.

INFO

Die $\epsilon$-$n_0$-Definition stellt sicher, dass man ein globales Kriterium hat, das unabhängig von der »Form« der Folge ist.
Es sagt aus, dass alle Folgenglieder ab irgendeinem Index $n_0$ beliebig nahe an $a$ liegen.

3. Erste Beispiele und Intuition

1. ${\displaystyle (a_n)=(\frac{1}{n}{)}_{n\ge 1}}$

   • Intuitiv wird $\frac{1}{n}$ immer kleiner, je größer $n$ wird. Man erwartet $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}=0$.

2. ${\displaystyle (a_n)=((-1{)}^n{)}_{n\in \mathbb{N}}}$

   • Diese Folge springt zwischen $+1$ und $-1$ hin und her. Sie hat keinen Grenzwert, ist also divergent.

3. ${\displaystyle a_n=\frac{n^2+2n-1}{n^2+2}}$

   • Für große $n$ »ähnelt« der Zähler $n^2+2n-1$ dem Nenner $n^2+2$. Man vermutet, dass der Grenzwert $1$ sein könnte.
   • Tatsächlich ergibt die formale Betrachtung: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n^2+2n-1}{n^2+2}=1$.

4. Beschränktheit von Folgen

Eine Folge $(a_n)$ in einem Körper $K\in \{\mathbb{R},\mathbb{Q},\mathbb{C}\}$ heißt beschränkt,
wenn die Menge $a_n:n\in \mathbb{N}$ beschränkt ist.

• Für $K\in \{\mathbb{R},\mathbb{Q}\}$: Es existieren $m,M\in \mathbb{R}$ mit $m\le a_n\le M\text{für alle }n.$

• Für $K=\mathbb{C}$:
  Es existiert $M>0$ mit $|a_n|\le M\text{für alle }n.$

Supremum und Infimum (nur für $K\in \{\mathbb{R},\mathbb{Q}\}$):

$$sup{a}_n:=sup\{a_n:n\in \mathbb{N}\},inf{a}_n:=inf\{a_n:n\in \mathbb{N}\}$$

WARNING

Jede konvergente Folge ist beschränkt

5. Grenzwertberechnung: Regeln und Tricks

Seien $(a_n)$, $(b_n)$, $(c_n)$ Folgen in einem Körper $K$.

Rechenregeln für Grenzwerte

Angenommen $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a$ und $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=b$. Dann gilt:

(a) Betrag:

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|a_n|=|a|$

(b) Rechenregeln:

• $lim(a_n+b_n)=a+b$
• $lim(\alpha a_n)=\alpha a$ für alle $\alpha \in K$
• $lim(a_n\cdot b_n)=ab$
• Falls $b\ne 0$ und $b_n\ne 0$ für alle $n$:
  $lim\frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b}$

(c) Ordnung erhalten: Falls $a_n\le b_n$ für alle $n$ und $lim{a}_n=a$, $lim{b}_n=b$,
so gilt: $a\le b$

(d) Sandwich-Kriterium: Falls $a_n\le c_n\le b_n$ für alle $n$ und sowohl $(a_n)$ als auch $(b_n)$ konvergieren gegen denselben Grenzwert $a$, dann gilt: $lim{c}_n=a$

Beispiel 1: Folge vom Typ $\frac{1}{n^p}$

Sei $p\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ fest und $a_n=\frac{1}{n^p}$. Dann:

$$\frac{1}{n^p}\le \frac{1}{n}\text{für alle }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$

Da $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}=0$ folgt mit dem Sandwich-Kriterium:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n^p}=0$$

Beispiel 2: Radikal-Trick (wichtiger Umformungstrick)

Für alle $n\in \mathbb{N}$ gilt:

$$0\le \sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$$

Abschätzung:

$$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\le \frac{1}{2\sqrt{n}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{n}}$$

6. Divergenz ins Unendliche

Es kann vorkommen, dass $(a_n)$ nicht konvergent ist, aber die Folgenglieder immer größer werden. Man schreibt dann:

• ${\displaystyle a_n⟶+\mathrm{\infty }}$, falls die Folge »unbeschränkt nach oben« wächst.
• ${\displaystyle a_n⟶-\mathrm{\infty }}$, falls die Folge »unbeschränkt nach unten« abnimmt.

Auch dieser Fall gilt offiziell als divergent im klassischen Sinn (da kein endlicher Grenzwert existiert).

7. Konvergenzkriterien: Monotonieverhalten

Eine monotone Folge ist eine Folge, deren Glieder immer nur in eine Richtung gehen:

1. Monoton wachsend: $a_n\le a_{n+1}$ für alle $n$.
2. Monoton fallend: $a_n\ge a_{n+1}$ für alle $n$.
3. monoton: Wenn sie eins von beiden ist

Monotonie-Kriterium

Eine monotone und beschränkte Folge ist konvergent.

Begründungsidee:

• Ist $(a_n)$ monoton wachsend und nach oben beschränkt, so besitzt die Menge $\{a_n\}$ eine kleinste obere Schranke; gegen diese nähert sich die Folge an.
• Ist $(a_n)$ monoton fallend und nach unten beschränkt, analog.

Zusammenfassung

• Folgen sind Abbildungen von $\mathbb{N}$ in eine beliebige Menge (häufig $\mathbb{R}$ oder $\mathbb{C}$).
• Eine Folge konvergiert, wenn sie sich einem Grenzwert $a$ nähert, formal beschrieben durch das $\epsilon$-$n_0$-Kriterium.
• Divergenz bedeutet, dass kein endlicher Grenzwert existiert. Hierzu zählt auch das Streben nach $\pm \mathrm{\infty }$.
• Beschränkte Folgen bleiben in einem endlichen Wertebereich. Das ist eine Voraussetzung für diverse Konvergenzkriterien.
• Monotonieverhalten (wachsend/fallend) und Beschränktheit ermöglichen einfache Schlüsse über Konvergenz (Monotonie-Kriterium).