4.7 Wichtige Funktionen

1. Exponentialfunktion

Die Exponentialfunktion $e^x$ kann man über die Potenzreihen-Summe definieren:

$$e^x:=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}.$$

• Sie ist stetig und sogar analytisch (beliebig oft differenzierbar).
• Speziell: $e^0=1$, $e^1=e\approx \mathrm{2,718}28\dots$

2. Natürlicher Logarithmus

Der natürliche Logarithmus $\ln (x)$ ist die Umkehrfunktion von $e^x$, definiert für $x>0$.

Zentrale Eigenschaften:

1. $\ln (1)=0$
2. Monotonie: $\ln (x)$ ist streng monoton wachsend auf $(0,\mathrm{\infty })$.
3. Additive Eigenschaft:$$\ln (ab)=\ln (a)+\ln (b).$$

3. Allgemeine Potenzen

Für $a>0$ und $x\in \mathbb{R}$ definiert man:

$$a^x:=e^{x\ln (a)}.$$

• Wenn $a=e$, so entspricht das $e^x$.
• Ist $a>1$, so ist $x\mapsto a^x$ streng monoton wachsend und stetig.
• Ist $0<a<1$, so ist $x\mapsto a^x$ streng monoton fallend und ebenfalls stetig.

4. Rechenregeln für Potenzen

Für $a>0$ und $x,y\in \mathbb{R}$ gelten die drei zentralen Exponentialgesetze:

1. Addition im Exponenten:$$a^{x+y}=a^x\cdot a^y.$$
2. Multiplikation im Exponenten:$$(a^x{)}^y=a^{x\cdot y}.$$
3. Produkt-Basis:$$a^x\cdot b^x=(ab{)}^x(\text{für }a,b>0).$$

Diese Regeln folgen direkt aus der Definition $a^x=e^{x\ln (a)}$ und den Logarithmus-Eigenschaften.

Fazit:

• Die Exponential- und Logarithmusfunktion bilden die Grundlage für zahlreiche Anwendungen, etwa Wachstumsprozesse und Skalierungen.
• Beide Funktionen sind stetig, streng monoton (je nach Basis $a>1$ oder $0<a<1$) und weisen wichtige Verknüpfungseigenschaften (Rechenregeln) auf.