4.6 Stetigkeit reeller Funktionen

Wiederholung: Abbildungen

Eine Abbildung oder Funktion $f$ von einer Menge $A$ in eine Menge $B$:

$$f:\{\begin{array}{lll}A& \to & B\\ a& \mapsto & f(a)\end{array}$$

Es gelte: jedem $x\in A$ genau ein $f(x)\in B$ zuordnet

• A ist Definitionsbereich: $A\subseteq \mathbb{R}$ (in der Regel für uns: eine Intervallmenge)

• B ist Zielbereich: $B\subseteq \mathbb{R}$

• $a\mapsto f(a)$ Funktionsvorschrift

• Bild von $A$ unter $f$ heißt $f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}.$

• Urbild einer Teilmenge $U\subseteq B$ ist $f^{-1}(U)=\{x\in A\mid f(x)\in U\}.$

Injektiv, Surjektiv, Bijektiv

• Injektiv: Verschiedene Elemente im Definitionsbereich liefern verschiedene Funktionswerte.
  Formell: $f(x_1)=f(x_2)⟹x_1=x_2$.
• Surjektiv: Das Bild von $f$ ist ganz $B$; also für jedes $y\in B$ gibt es ein $x\in A$ mit $f(x)=y$.
• Bijektiv: $f$ ist sowohl injektiv als auch surjektiv. Dann existiert eine Umkehrfunktion $f^{-1}:B\to A$.

4.6.1 Grenzwertbegriff für Funktionen

Sei $f:D\to \mathbb{R}$, wobei $D\subseteq \mathbb{R}$.

Ein Häufungspunkt $x_0$ von $D$ ist ein Punkt, um den herum beliebig viele Punkte aus $D$ liegen (außerhalb von $x_0$ selbst).

Formell:
$x_0$ ist Häufungspunkt von $D$, wenn:

• es eine Folge $(a_n)\text{ in }D$ gibt mit $a_n\ne x_0$ für alle $n$
• $(a_n)$ konvergiert gegen $x_0$:    $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=x_0$.

Falls $f$ nur von links »angeschaut« wird (z. B. $D$ enthält nur Werte kleiner oder gleich $x_0$). Analog rechtsseitiger Grenzwert.

• Linksseitiger Grenzwert: $D_{-}:=\{x\in D:x<x_0\}$
• Rechtsseitiger Grenzwert: $D_{+}:=\{x\in D:x>x_0\}$

Wir schreiben:

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=y\text{oder}\underset{x\to x_0+}{lim}f(x)=y\text{oder}\underset{x\to x_0-}{lim}f(x)=y$$

Außerhalb des Definitionsbereich

Die Funktion ist stückweise definiert im Intervall $D=(0,1]$:

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& 0<x<\frac{1}{2},\\ 1,& \frac{1}{2}\le x<1,\\ 2,& x=1.\end{array}$$

Es wird festgestellt, dass das Intervall $(0,1)$ alle Punkte aus dem abgeschlossenen Intervall $[0,1]$ als Häufungspunkte hat. Das bedeutet:

• Auch wenn $f$ bei $x=0$ nicht definiert ist, kann man Grenzwerte gegen 0 untersuchen, weil man beliebig nahe an 0 herankommen kann.

Daher sind Grenzwertbetrachtungen an allen $x\in [0,1]$ sinnvoll.

Betrachtung der kritischen Stellen $0$, $\frac{1}{2}$, und $1$

Die Grafik untersucht die einseitigen und zweiseitigen Grenzwerte in diesen Punkten.

Bei $x=0$:

• $\underset{x\to 0+}{lim}f(x)=\underset{x\to 0}{lim}f(x)=0$, da dort $f(x)=x^2$.
• $\underset{x\to 0-}{lim}f(x)$ ist nicht definiert – es gibt von links kein $x\in D$.

Bei $x=\frac{1}{2}$:

• $\underset{x\to \frac{1}{2}-}{lim}f(x)\text{, aber }\frac{1}{4}=\underset{x\to \frac{1}{2}+}{lim}f(x)=1$
• Damit ist der zweiseitige Grenzwert nicht definiert, weil die links- und rechtsseitigen Grenzwerte nicht übereinstimmen.

Bei $x=1$:

• $f(x)=1$, also: $\underset{x\to 1-}{lim}f(x)=1$
• Von rechts: $x\to 1^{+}$ ist nicht im Definitionsbereich, deshalb $\underset{x\to 1^{+}}{lim}f(x)$ ist nicht definiert.
• Trotzdem existiert der linksseitige Grenzwert, also $\underset{x\to 1}{lim}f(x)=1$, denn $f(x)$ nähert sich von links dem Wert 1.

Zusammenfassung

• Die Funktion ist nicht stetig an $x=\frac{1}{2}$ und $x=1$.
• Man kann einseitige Grenzwerte betrachten, auch wenn ein Punkt nicht im Definitionsbereich ist.
• Der Unterschied zwischen Funktionswert und Grenzwert ist wichtig: z. B. ist $f(1)=2$, aber der Grenzwert gegen 1 von links ist 1.

Rechenregeln für Grenzwerte

Sein ${\displaystyle \underset{x\to x_0}{lim}f(x)}$ und ${\displaystyle \underset{x\to x_0}{lim}g(x)}$, dann:

1. ${\displaystyle \underset{x\to x_0}{lim}[f(x)+g(x)]=\underset{x\to x_0}{lim}f(x)+\underset{x\to x_0}{lim}g(x)}$
2. ${\displaystyle \underset{x\to x_0}{lim}[f(x)\cdot g(x)]=\underset{x\to x_0}{lim}f(x)\cdot \underset{x\to x_0}{lim}g(x)}$
3. ${\displaystyle \underset{x\to x_0}{lim}|f(x)|=|\underset{x\to x_0}{lim}f(x)|}$
4. Falls $B\ne 0$, ${\displaystyle \underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\underset{x\to x_0}{lim}f(x)}{\underset{x\to x_0}{lim}g(x)}}$

4.6.2 Stetigkeit

Sei $D\subseteq \mathbb{R}$ und $x_0\in D$:

• Eine Funktion $f:D\to \mathbb{R}$ heißt stetig in $x_0$, falls gilt:

  • Für jede Folge $(a_n)\subseteq D$, die gegen $x_0$ konvergiert,
    konvergiert auch die Folge $f(a_n)$, und zwar mit:$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(a_n)=f(x_0)$$

• Eine Funktion heißt stetig auf $D$,
  wenn sie in jedem Punkt $x_0\in D$ stetig ist.

• Wir bezeichnen mit

  $$C(D):=\{f:D\to \mathbb{R}|f\text{ stetig auf }D\}$$

  die Menge aller auf $D$ stetigen Funktionen.

4.6.3 Eigenschaften stetiger Funktionen

Satz: Sind $f$ und $g$ in $x_0$ stetig, dann auch

1. $f+g$ ist in $x_0$ stetig,
2. $f\cdot g$ ist in $x_0$ stetig,
3. $|f|$ ist in $x_0$ stetig.

Beispiel: Jede Polynomfunktion

$$p(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_k{x}^k(k\in \mathbb{N})$$

ist stetig auf $\mathbb{R}$. Grund: Summe und Produkt stetiger (konstanter, linearer) Funktionen bleiben stetig.

4.6.4 Operationen und Umkehrfunktionen

• Addition, Multiplikation, Verknüpfung stetiger Funktionen ergeben wieder stetige Funktionen.
• Bijektive Funktion $f$ hat eine Umkehrfunktion $f^{-1}$.
  • Frage: Ist $f^{-1}$ auch stetig?
    Antwort: Im Allgemeinen nein. Es braucht weitere Bedingungen.
  • Aus der Analysis: Ist $f$ streng monoton (wachsend oder fallend) und stetig, so ist $f^{-1}$ ebenfalls stetig.

4.6.5 Definition: Monotonie

• monoton wachsend: $x_1<x_2⟹f(x_1)\le f(x_2)$
• streng monoton wachsend: $x_1<x_2⟹f(x_1)<f(x_2)$
• Analog (streng) monoton fallend.

Streng monotone, stetige Funktionen auf Intervallen sind bijektiv, und ihre Umkehrfunktion ist dann ebenfalls stetig.

4.6.5 $\epsilon$-$\delta$-Kriterium

Das $\epsilon$-$\delta$-Kriterium ist eine klassische und präzise Definition der Stetigkeit. Es ist äquivalent zur Folgendefinition, aber basiert auf einer expliziten Abschätzung der Funktionswerte in Abhängigkeit von der Nähe zum Punkt $x_0$.

Satz

Seien

• $D\subseteq \mathbb{R}$,
• $x_0\in D$,
• $f:D\to \mathbb{R}$.

Dann ist $f$ stetig in $x_0$ genau dann, wenn gilt:

• Für alle $\epsilon >0$ existiert ein $\delta >0$, sodass für alle $x\in D$ mit
  • $|x-x_0|<\delta$ und
  • $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon .$

Bedeutung:

• $\epsilon$: maximale erlaubte Abweichung im Funktionswert
• $\delta$: passende »Toleranz« im Argumentbereich, damit diese Abweichung eingehalten wird

Das Kriterium sagt:

Wenn man sich mit $x$ genügend nah an $x_0$ hält (kleiner als $\delta$),
dann bleibt auch der Funktionswert $f(x)$ beliebig nah an $f(x_0)$ (kleiner als $\epsilon$).

4.6.8 Lipschitz-Stetigkeit

Eine stärkere Form der Stetigkeit: $f$ ist Lipschitz-stetig auf $D$, wenn es eine Konstante $L>0$ gibt mit

$$|f(x)-f(y)|\le L|x-y|\text{für alle }x,y\in D.$$

Jede Lipschitz-stetige Funktion ist auch stetig, aber nicht umgekehrt.

4.6.9 Wichtige Eigenschaften stetiger Funktionen

1. Zwischenwertsatz (Darstellung Bolzano, Cauchy):
   Ist $f$ stetig auf einem Intervall $[a,b]$ und $f(a)$ und $f(b)$ haben verschiedene Vorzeichen (z. B. eins positiv, eins negativ), dann besitzt $f$ mindestens eine Nullstelle in $(a,b)$.
2. Nullstellensatz von Bolzano:
   Spezialfall des Zwischenwertsatzes: Liegt $0$ zwischen $f(a)$ und $f(b)$, so gibt es ein $c\in (a,b)$ mit $f(c)=0$.
3. Beschränktheit:
   Auf einem abgeschlossenen, beschränkten Intervall $[a,b]$ ist jede stetige Funktion $f$ beschränkt und nimmt Minimum und Maximum an (Extremwertsatz).