3.10 Eigenwerte

1. Definition: Eigenwert und Eigenvektor

1.1 Lineare Abbildung $\mathrm{\Phi }:V\to V$

Sei $V$ ein $K$-Vektorraum und $\mathrm{\Phi }:V\to V$ eine lineare Abbildung.

• Ein Skalar $\lambda \in K$ heißt Eigenwert von $\mathrm{\Phi }$,
  falls es mindestens einen von Null verschiedenen Vektor $v\in V$ gibt,sodass $\mathrm{\Phi }(v)=\lambda v.$

• In diesem Fall nennt man $v$ einen Eigenvektor (zugehörig zu $\lambda$).

1.2 Matrizendarstellung

Für den Fall einer Matrix $A\in K^{n\times n}$ (also einer linearen Abbildung ${\mathrm{\Phi }}_A$ in $K^n$) bedeutet das:

• $\lambda$ ist Eigenwert von $A$, falls es ein $x\ne 0$ in $K^n$ gibt mit $Ax=\lambda x.$
• Ein solcher $x$ heißt Eigenvektor (bzgl. $\lambda$).

Beispiel
Betrachte $A=\left(\begin{array}{ccc}3& 2& -2\\ -1& 0& 2\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$ in $K^{3\times 3}$.

Man kann nachrechnen, dass $A\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right).$

Daraus folgt $\lambda =1$ als Eigenwert, und $(1,2,1{)}^{\mathsf{T}}$ ist der zugehörige Eigenvektor.

2. Charakteristisches Polynom

Um Eigenwerte zu finden, betrachtet man die charakteristische Gleichung: $det(A-\lambda I_n)=0.$

Dieses Polynom in $\lambda$, $p_A(\lambda )=det(A-\lambda I_n),$ heißt charakteristisches Polynom von $A$.

Jeder $\lambda \in K$, der diese Gleichung löst, ist Eigenwert von $A$.

Beispiel

Für $A=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 1\end{array}\right)⟹det(A-\lambda I_2)=det\left(\begin{array}{cc}3-\lambda & 0\\ 0& 1-\lambda \end{array}\right)=(3-\lambda )(1-\lambda ).$

Die Nullstellen sind $\lambda =3$ und $\lambda =1$.
Das bedeutet, $A$ hat zwei Eigenwerte: 3 und 1.

3. Eigenräume

Für einen Eigenwert $\lambda$ nennt man $E_{\lambda }=\{x\in K^n:x\ne 0,Ax=\lambda x\}\cup \{0\}$ den zugehörigen Eigenraum.

Formal lässt sich das auch als $\ker (A-\lambda I)$ schreiben, d. h. die Nullstelle der linearen Abbildung $(A-\lambda I)$.

4. Beispiel: 2×2-Matrix mit Lösungsweg

Wir möchten die Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmen.

Nehmen wir $A=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 4& -5\end{array}\right).$

4.1 Charakteristisches Polynom

$det(A-\lambda I)=det\left(\begin{array}{cc}1-\lambda & 4\\ 4& -5-\lambda \end{array}\right)=(1-\lambda )(-5-\lambda )-(4\cdot 4).$

Rechnen wir das aus:

$=(1-\lambda )(-5-\lambda )-16=(-5-\lambda +5\lambda +{\lambda }^2)-16={\lambda }^2+(5\lambda -\lambda )+(-5-16+1)$

Vorsichtig zusammenfassen:

$={\lambda }^2+(4\lambda )+(-5+1-16)={\lambda }^2+4\lambda -20.$

Also $det(A-\lambda I)={\lambda }^2+4\lambda -20.$

Wir setzen dies gleich 0: ${\lambda }^2+4\lambda -20=0.$

4.2 Lösen der Quadratischen Gleichung (p-q-Formel)

• Manchmal sagt man pq-Formel.
• Übliche „Mitternachtsformel“ ist: $\lambda =\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a},$ wenn ${\lambda }^2+b\lambda +c=0$.

In unserem Fall: $a=1$, $b=4$, $c=-20$.

Also:

$$\lambda =\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4\cdot 1\cdot (-20)}}{2\cdot 1}=\frac{-4\pm \sqrt{16+80}}{2}=\frac{-4\pm \sqrt{96}}{2}=\frac{-4\pm \sqrt{16\cdot 6}}{2}=\frac{-4\pm 4\sqrt{6}}{2}.$$$$⟹{\lambda }_1=\frac{-4+4\sqrt{6}}{2}=-2+2\sqrt{6},{\lambda }_2=\frac{-4-4\sqrt{6}}{2}=-2-2\sqrt{6}.$$

4.3 Eigenvektoren bestimmen (via LGS)

Zu ${\lambda }_1=-2+2\sqrt{6}$ lösen wir $(A-{\lambda }_{1}I)x=0$:

$$A-{\lambda }_{1}I=\left(\begin{array}{cc}1-{\lambda }_1& 4\\ 4& -5-{\lambda }_1\end{array}\right).$$

Setze

$$\left(\begin{array}{cc}1-{\lambda }_1& 4\\ 4& -5-{\lambda }_1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right).$$

Meist führt eine Zeile schon zur linearen Beziehung zwischen $x_1$ und $x_2$. Man wählt $x_1=1$ (oder eine andere Konstante), um $x_2$ daraus abzuleiten.
Auf diese Weise erhält man einen Eigenvektor $\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$.

Analoger Ablauf für ${\lambda }_2$. Man setzt ${\lambda }_2=-2-2\sqrt{6}$ und löst wieder $(A-{\lambda }_{2}I)x=0$.