3.2 Linearkombination, Basis, Dimension

Linearkombination

Zusammenfassung

Eine Linearkombination ist eine Summe von Vektoren, wobei jeder Vektor mit einer Skalar multipliziert wird.
Damit kann man ausdrücken, wie ein Vektor aus anderen Vektoren zusammengesetzt ist.

Sei $V$ ein $K$-Vektorraum und seien $a_1,a_2,\dots ,a_n\in V$ sowie ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n\in K$. Dann heißt

$$\sum _{j=1}^n{\alpha }_j{a}_j={\alpha }_1{a}_1+{\alpha }_2{a}_2+\cdots +{\alpha }_n{a}_n$$

eine Linearkombination der Vektoren $a_1,a_2,\dots ,a_n$ mit den Skalaren ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$.

Beispiele

Linearkombination

Im Standardvektorraum ${\mathbb{R}}^2$ ist der Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ 6\end{array}\right)$ eine Linearkombination der Vektoren: $a_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right),a_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right),a_3=\left(\begin{array}{c}0\\ 2\end{array}\right)$.

Zum Beispiel mit: $\left(\begin{array}{c}1\\ 6\end{array}\right)=a_1-2a_2+3a_3=a_1+4a_2+0a_3.$

Lineare Hülle

Zusammenfassung

Die lineare Hülle einer Menge von Vektoren ist die Menge aller Vektoren, die sich als Linearkombination dieser Vektoren schreiben lassen.
Sie gibt also an, welche Vektoren durch die gegebenen Vektoren erzeugt werden können.

Sei $V$ ein $K$-Vektorraum und sei $M\subseteq V$ eine Teilmenge.

Dann heißt $⟨M⟩:=\{v\in V\mid v\text{ ist eine Linearkombination von Vektoren aus }M\}$ die lineare Hülle von $M$.

Falls $M$ endlich ist, also $M=\{m_1,m_2,\dots ,m_n\}$, dann schreibt man: $⟨m_1,m_2,\dots ,m_n⟩$ anstatt $⟨M⟩$.

Außerdem gilt stets: $⟨\mathrm{\varnothing }⟩=\{0\}.$

Eigenschaft

Für beliebige Teilmengen $M_1,M_2\subseteq V$ gilt:

$M_1\subseteq M_2\Rightarrow ⟨M_1⟩\subseteq ⟨M_2⟩.$

Lineare Abhängigkeit

Zusammenfassung

Eine Menge von Vektoren ist linear abhängig, wenn mindestens einer von ihnen als Linearkombination der anderen dargestellt werden kann.
Das bedeutet, dass es eine nichttriviale Kombination dieser Vektoren gibt, die den Nullvektor ergibt.
Ist dies nicht der Fall, nennt man die Vektoren linear unabhängig.

Sei $V$ ein $K$-Vektorraum und $M\subseteq V$.

• Die Menge $M$ heißt linear abhängig, wenn es eine nichttriviale Linearkombination des Nullvektors gibt, d. h., wenn es

  • eine natürliche Zahl $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$,
  • Vektoren $v_1,v_2,\dots ,v_n\in M$
  • und Koeffizienten ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n\in K$ gibt,
  • wobei nicht alle ${\alpha }_j$ null sind,
    sodass

  $\sum _{j=1}^n{\alpha }_j{v}_j=0_V.$

• Falls $M$ nicht linear abhängig ist, nennt man es linear unabhängig.

Beispiele

• Teilmenge von ${\mathbb{R}}^2$, gegeben durch $\{\left(\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)\}$ ist linear abhängig, denn $1\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)-1\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)-2\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right).$

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• Hingegen die Menge $\{\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)\}$ in ${\mathbb{R}}^2$ ist linear unabhängig, denn

$\alpha \cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)+\beta \cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$

$\iff \left(\begin{array}{c}\alpha \\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ \beta \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$

$\iff \left(\begin{array}{c}\alpha +0\\ 0+\beta \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$

$\iff \alpha =0,\beta =0.$

Basis eines Vektorraums

Zusammenfassung

Eine Basis eines Vektorraums ist eine Menge von Vektoren, die den ganzen Raum durch Linearkombinationen aufspannen und dabei linear unabhängig sind.
Das bedeutet, dass jeder Vektor des Raums eindeutig durch die Basisvektoren dargestellt werden kann.

Sei $V$ ein $K$-Vektorraum. Eine Teilmenge $\mathcal{B}\subseteq V$ heißt Basis von $V$, wenn:

1. Lineare Unabhängigkeit: Die Elemente von $\mathcal{B}$ sind linear unabhängig.
2. Erzeugendensystem: Die lineare Hülle von $\mathcal{B}$ ist ganz $V$, also: $⟨\mathcal{B}⟩=V.$

Beispiel

Die Menge $\{\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)\}\subset {\mathbb{R}}^2$ ist eine Basis von ${\mathbb{R}}^2$, da:

• sie linear unabhängig ist,

• jeder Vektor $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$ als Linearkombination geschrieben werden kann:

  $\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=x\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)+y\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right).$

Diese Basis wird als Standardbasis von ${\mathbb{R}}^n$ bezeichnet.

Unendlichdimensionale Vektorräume

Ein Vektorraum $V$ heißt unendlichdimensional, wenn es keine endliche Basis gibt.

Beispiel: Der Raum der Polynome $P(\mathbb{R})$ hat die Basis: $\{1,x,x^2,x^3,\dots \}$ und ist daher unendlichdimensional.

Basisergänzungssatz

• Jeder Vektorraum besitzt eine Basis.
• Sei $M\subseteq V$ eine linear unabhängige Menge, dann gibt es eine Basis $\mathcal{B}$ von $V$ mit $M\subseteq \mathcal{B}$.