3.4 Geometrie im ${\mathbb{R}}^n$

Wir identifizieren den uns vertrauten dreidimensionalen Raum ${\mathbb{R}}^3$ und die ebene Fläche ${\mathbb{R}}^2$ mit den jeweiligen Standardvektorräumen.
In diesem Unterkapitel betrachten wir ausschließlich den Standardvektorraum ${\mathbb{R}}^n$ mit dem Standardskalarprodukt
$(x\mid y)=x_1{y}_1+x_2{y}_2+\cdots +x_n{y}_n.$

Unser Ziel ist es, elementargeometrische Betrachtungen (Geraden, Ebenen etc.) auf ${\mathbb{R}}^n$ zu übertragen.

Definition: Gerade und Ebene

1. Gerade:
   Seien $x,v\in {\mathbb{R}}^n$ mit $v\ne 0$.
   Dann heißt $g:=\{x+\lambda v:\lambda \in \mathbb{R}\}$ eine Gerade mit Aufpunkt $x$ und Richtungsvektor $v$.

2. Ebene:
   Seien $x,v,w\in {\mathbb{R}}^n$, wobei $v$ und $w$ linear unabhängig sind.
   Dann heißt $E:=\{x+\lambda v+\mu w:\lambda ,\mu \in \mathbb{R}\}$ eine Ebene mit Aufpunkt $x$ und Richtungsvektoren $v$ und $w$.

Gerade durch zwei Punkte

Satz (Eindeutige Gerade durch zwei verschiedene Punkte)

Seien $x,y\in {\mathbb{R}}^n$ mit $x\ne y$. Dann gibt es genau eine Gerade, die die Punkte $x$ und $y$ enthält.

Sie lautet: $g=\{x+\lambda (y-x):\lambda \in \mathbb{R}\}.$

Begründung:

• Offensichtlich liegen $x$ und $y$ beide auf der beschriebenen Menge (einsetzen von $\lambda =0$ bzw. $\lambda =1$).
• Wäre es eine andere Gerade, müsste sie denselben Richtungsvektor besitzen, da $x$ und $y$ eindeutig die Richtung bestimmen.

Bemerkung: Eindeutige Ebene durch drei Punkte

Ebenso kann man drei Punkte $x,y,z\in {\mathbb{R}}^n$ nutzen, um eine Ebene zu definieren, vorausgesetzt:

1. $x,y,z$ sind paarweise verschieden.
2. Sie liegen nicht alle auf einer gemeinsamen Geraden.

Dann ist $E=\{x+\lambda (y-x)+\mu (z-x):\lambda ,\mu \in \mathbb{R}\}$

die eindeutig bestimmte Ebene, weil $y-x$ und $z-x$ linear unabhängig sind.

Beispiel: Schnitt einer Geraden mit einer Ebene in ${\mathbb{R}}^3$

Wir betrachten in ${\mathbb{R}}^3$: Die Gerade $g$, die die Punkte $\left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ 2\end{array}\right)\text{und}\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 4\end{array}\right)$ enthält.

Die Ebene $E=\{\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+\lambda \left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right)+\mu \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 2\end{array}\right):\lambda ,\mu \in \mathbb{R}\}.$

1. Darstellung der Geraden $g$ Die Richtung ist $((3,2,4{)}^{\mathsf{T}}-(3,-4,2{)}^{\mathsf{T}})$.

Also $g=\{\left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ 2\end{array}\right)+\gamma \left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ 2\end{array}\right):\gamma \in \mathbb{R}\}.$

2. Schnittmenge $g\cap E$
Wir suchen $x\in {\mathbb{R}}^3$, das sowohl in $g$ als auch in $E$ liegt. Es muss also $\gamma ,\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$ geben mit

$\left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ 2\end{array}\right)+\gamma \left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+\lambda \left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right)+\mu \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 2\end{array}\right).$

Dies führt auf das lineare Gleichungssystem:

$\{\begin{array}{l}1+\lambda +\mu =3,\\ 0+(-1)\lambda +0\mu =-4-6\gamma ,\\ 0+\lambda +2\mu =2-2\gamma .\end{array}$

3. Lösung und Ergebnis
Man löst dieses System und findet eine eindeutige Lösung $(\lambda ,\mu ,\gamma )$.
Daraus ergibt sich ein genau ein Schnittpunkt $x=\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 3\end{array}\right).$

Also $|g\cap E|=1$; die Gerade schneidet die Ebene in genau einem Punkt.

Fazit

• Geraden in ${\mathbb{R}}^n$ werden stets durch Aufpunkt $x$ und Richtungsvektor $v$ charakterisiert.
• Ebenen benötigen zusätzlich einen weiteren, vom ersten Richtungsvektor linear unabhängigen Richtungsvektor.
• Zwei Punkte bestimmen eindeutig eine Gerade, drei nicht kollineare Punkte bestimmen eindeutig eine Ebene.
• Lineare Algebra liefert ein systematisches Verfahren, um Schnittmengen (bspw. Gerade–Ebene) zu berechnen.