3.5 Lineare Abbildungen

Definition: Lineare Abbildung

Seien $V$ und $W$ zwei Vektorräume über demselben Körper $K$.

Eine Abbildung $\mathrm{\Phi }:V\to W$ heißt linear, wenn sie die folgenden Bedingungen für alle $a,b\in V$ und alle $\alpha \in K$ erfüllt:

1. Additivität
   $\mathrm{\Phi }(a+b)=\mathrm{\Phi }(a)+\mathrm{\Phi }(b),$
2. Homogenität
   $\mathrm{\Phi }(\alpha a)=\alpha \mathrm{\Phi }(a).$

Ist $\mathrm{\Phi }$ zusätzlich bijektiv, so heißt $\mathrm{\Phi }$ ein (Vektorraum-)Isomorphismus, und man sagt, $V$ und $W$ seien isomorph.

Beispiel

Aufgabenstellung

1. Zeige, dass die Abbildung
   $\mathrm{\Phi }:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^4,(x_1,x_2,x_3{)}^{\mathsf{T}}\mapsto (x_2,x_1+x_2,x_2+x_3,x_3{)}^{\mathsf{T}}$linear und injektiv, aber nicht surjektiv ist.
2. Finde (oder widerlege die Existenz) einer surjektiven linearen Abbildung, die nicht injektiv ist.

Additivität

Seien $a=(a_1,a_2,a_3{)}^{\mathsf{T}},b=(b_1,b_2,b_3{)}^{\mathsf{T}}\in {\mathbb{R}}^3$. Dann

$\mathrm{\Phi }(a+b)=\mathrm{\Phi }(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3)=\left(\begin{array}{c}{a}_2+b_2\\ (a_1+b_1)+(a_2+b_2)\\ (a_2+b_2)+(a_3+b_3)\\ a_3+b_3\end{array}\right).$

Durch geeignetes Gruppieren lässt sich das als Summe von $\mathrm{\Phi }(a)$ und $\mathrm{\Phi }(b)$ hinschreiben:

$=\left(\begin{array}{c}{a}_2\\ a_1+a_2\\ a_2+a_3\\ a_3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{b}_2\\ b_1+b_2\\ b_2+b_3\\ b_3\end{array}\right)=\mathrm{\Phi }(a)+\mathrm{\Phi }(b).$

Homogenität

Seien $\alpha \in \mathbb{R}$ und $a=(a_1,a_2,a_3{)}^{\mathsf{T}}\in {\mathbb{R}}^3$. Dann

$$\mathrm{\Phi }(\alpha a)=\mathrm{\Phi }(\alpha a_1,\alpha a_2,\alpha a_3)=\left(\begin{array}{c}\alpha a_2\\ \alpha a_1+\alpha a_2\\ \alpha a_2+\alpha a_3\\ \alpha a_3\end{array}\right)=\alpha \left(\begin{array}{c}{a}_2\\ a_1+a_2\\ a_2+a_3\\ a_3\end{array}\right)=\alpha \mathrm{\Phi }(a).$$

Damit ist $\mathrm{\Phi }$ additiv und homogen, also linear.

Injektivität

$\mathrm{\Phi }$ ist injektiv, wenn $\mathrm{\Phi }(a)=\mathrm{\Phi }(b)$ immer nur eintritt, wenn $a=b$. Prüfen wir das:

• Angenommen $\mathrm{\Phi }(a)=\mathrm{\Phi }(b)$.
• Schreibe $a=(a_1,a_2,a_3{)}^{\mathsf{T}}$ und $b=(b_1,b_2,b_3{)}^{\mathsf{T}}$.
• Dann

$\left(\begin{array}{c}{a}_2\\ a_1+a_2\\ a_2+a_3\\ a_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{b}_2\\ b_1+b_2\\ b_2+b_3\\ b_3\end{array}\right).$

Also gelten die vier Gleichungen:

$\begin{array}{rl}& a_2=b_2,\\ & a_1+a_2=b_1+b_2,\\ & a_2+a_3=b_2+b_3,\\ & a_3=b_3.\end{array}$

• Aus $a_2=b_2$ und $a_3=b_3$ folgt sofort $a_2+a_3=b_2+b_3$. Das ist konsistent mit der dritten Gleichung.
• Die zweite Gleichung liefert $a_1+a_2=b_1+b_2$. Da $a_2=b_2$, folgt $a_1=b_1$.

Damit ist $a=b$.

Also $\mathrm{\Phi }$ ist injektiv.

Nicht surjektiv

Um Nicht-Surjektivität zu zeigen, genügt ein Gegenbeispiel: Wir finden ein $y\in {\mathbb{R}}^4$, für das es kein $x\in {\mathbb{R}}^3$ mit $\mathrm{\Phi }(x)=y$ gibt.

• Betrachte z. B. $y=(1,1,1,1{)}^{\mathsf{T}}\in {\mathbb{R}}^4$.
• Angenommen, es gäbe $x=(x_1,x_2,x_3{)}^{\mathsf{T}}$ mit $\mathrm{\Phi }(x)=y$. Dann müsste

$\mathrm{\Phi }(x)=\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ x_1+x_2\\ x_2+x_3\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right).$

Daraus folgen: $x_2=1,x_1+x_2=1,x_2+x_3=1,x_3=1.$
Insbesondere aus $x_2=1$ und $x_3=1$ folgt $x_2+x_3=2$.

Aber nach obiger Bedingung sollte $x_2+x_3=1$. Widerspruch!
Daher existiert kein Urbild für $(1,1,1,1{)}^{\mathsf{T}}$.

Also ist $\mathrm{\Phi }$ nicht surjektiv.

Surjektiv, aber nicht injektiv?

Für den zweiten Teil der Übungsaufgabe solltest du prüfen, ob es beispielsweise eine lineare Abbildung $\mathrm{\Psi }:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ gibt, die zwar surjektiv, aber nicht injektiv ist.

• Falls $\mathrm{\Psi }$ linear und surjektiv ist, bedeutet das, dass das Bild (Erzeugnis) ganz ${\mathbb{R}}^2$ ist.
• Für lineare Abbildungen zwischen Räumen gleicher Dimension gilt: Surjektiv $⟺$ Injektiv $⟺$ Isomorphismus.
• Um ein Gegenbeispiel zu finden, brauchst du ungleich-dimensionale Räume (z. B. ${\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$) oder eine größere Dimension im Zielraum.

Je nach Aufgabe kann man zeigen, dass etwa $\mathrm{\Psi }:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R},(x,y{)}^{\mathsf{T}}\mapsto x+y$

surjektiv (jedes reelle Ziel kann getroffen werden) ist, aber nicht injektiv ($\mathrm{\Psi }(x_1,x_2)=\mathrm{\Psi }(y_1,y_2)$ kann passieren mit $(x_1,x_2)\ne (y_1,y_2)$).

Fazit

• Eine lineare Abbildung erhältst du, wenn Additivität und Homogenität gelten.
• Ein linearer Isomorphismus ist eine bijektive lineare Abbildung. Zwischen Vektorräumen gleicher endlicher Dimension sind Surjektivität und Injektivität für lineare Abbildungen äquivalent.
• Das vorgestellte $\mathrm{\Phi }$-Beispiel (${\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^4$) ist linear und injektiv, aber nicht surjektiv.
• Möchte man ein Beispiel für surjektiv, nicht injektiv, wählt man meist eine lineare Abbildung, bei der $\dim (V)<\dim (W)$ oder umgekehrt entsprechend.