3.6 Matrizen und lineare Abbildungen

Definition: Matrizenraum $K^{p\times n}$

• Eine Matrix mit $p\in {\mathbb{N}}^{\ast },n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ ist eine rechteckige Anordnung von Elementen aus einem Körper $K$, mit $p$ Zeilen und $n$ Spalten.
• Der Raum aller $p\times n$-Matrizen über $K$ wird mit $K^{p\times n}$ bezeichnet.

Algebraische Struktur von $K^{p\times n}$

Addition von Matrizen

Für Matrizen $A,B\in K^{p\times n}$:

• Kommutativität: $A+B=B+A$
• Assoziativität: $(A+B)+C=A+(B+C)$
• Neutrales Element: Die Nullmatrix $0$ mit allen Einträgen $0\in K$ erfüllt $A+0=A$

Skalarmultiplikation

Für $\lambda \in K$, $A\in K^{p\times n}$:

• Assoziativität: $\lambda (\mu A)=(\lambda \mu )A$
• Neutrales Element: $1\cdot A=A$
• Distributivgesetze:
  • $\lambda (A+B)=\lambda A+\lambda B$
  • $(\lambda +\mu )A=\lambda A+\mu A$

→ Damit ist $K^{p\times n}$ ein Vektorraum über $K$.

Besondere Matrizen

• Quadratische Matrix: $p=n$
• Transponierte Matrix: Für $A=({\alpha }_{jk})\in K^{p\times n}$ ist$$A^T:=({\alpha }_{kj})\in K^{n\times p}$$
• Eigenschaften der Transposition:
  • $(A+B{)}^T=A^T+B^T$
  • $(\lambda A{)}^T=\lambda A^T$
  • $(A^T{)}^T=A$
  • $(AB{)}^T=B^T{A}^T$ für passende Dimensionen

Invertierbarkeit

• Eine quadratische Matrix $A\in K^{n\times n}$ heißt invertierbar (oder regulär), wenn eine Matrix $A^{-1}\in K^{n\times n}$ existiert mit$$A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I_n$$
• Andernfalls heißt sie singulär.

Eigenschaften

• Das Inverse ist eindeutig.
• Nicht jede Matrix mit von null verschiedenen Einträgen ist invertierbar.
• Beispiel nicht-invertierbar: Wenn zwei Spalten linear abhängig sind (z. B. Vielfache voneinander), ist die Matrix singulär.

Äquivalente Aussagen für $A\in K^{n\times n}$

Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

1. $A$ ist invertierbar.
2. $\mathrm{Rang}(A)=n$
3. $\ker (A)=\{0\}$

Lineare Abbildungen und Matrizen

Darstellung linearer Abbildungen

Sei $\mathrm{\Phi }:V\to W$ eine lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen über $K$, mit

• $\dim (V)=n$, $\dim (W)=p$
• $\mathcal{B}=\{b_1,\dots ,b_n\}$ Basis von $V$
• $\mathcal{C}=\{c_1,\dots ,c_p\}$ Basis von $W$

Dann existiert eine Matrix $A\in K^{p\times n}$, sodass für jeden $x\in V$ mit Koordinatenvektor $\overrightarrow{x}\in K^n$ gilt:

$$\mathrm{\Phi }(x)=A\overrightarrow{x}$$

→ Jede lineare Abbildung ist durch eine Matrix darstellbar.
→ Umgekehrt stellt jede Matrix eine lineare Abbildung dar.

Rang und Kern

Für $A\in K^{p\times n}$, Spalten $a_1,\dots ,a_n\in K^p$:

• Rang:$$\mathrm{Rang}(A):=\dim (\mathrm{span}(a_1,\dots ,a_n))$$
• Kern:$$\ker (A):=\{x\in K^n:Ax=0\}$$

Matrixprodukt und Inverse

Für $A,B\in K^{n\times n}$ invertierbar gilt:

• $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$

Allgemeine lineare Gruppe

• Die Menge aller invertierbaren Matrizen $A\in K^{n\times n}$ mit der Matrixmultiplikation bildet eine Gruppe, die allgemeine lineare Gruppe genannt wird:$$\mathrm{GL}(n,K):=\{A\in K^{n\times n}\mid A\text{ invertierbar}\}$$