3.9 Determinanten

1. Determinante bei 2×2-Matrizen

Für eine 2×2-Matrix $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ lautet die Determinante: $det(A)=ad-bc$

1.1 Inverse 2×2 Matrix

Ist $det(A)\ne 0$, so ist $A$ invertierbar, und die Inverse lautet $A^{-1}=\frac{1}{det(A)}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right).$

Ist $A$ invertierbar, dann $det(A^{-1})=(det(A){)}^{-1}.$

Beispiel

Die Matrix $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$ hat Determinante $1\cdot 4-2\cdot 3=4-6=-2$.
Da $-2\ne 0$, ist $A$ invertierbar.

Demgegenüber hätte $B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right)$ Determinante $1\cdot 4-2\cdot 2=4-4=0$.
$B$ ist also nicht invertierbar.

2. Laplacescher Entwicklungssatz

Allgemeine Form (nach der 1. Zeile)

Für $A=(a_{jk}{)}_{j,k=1,\dots ,n},$ gilt:

$$det(A)=\sum _{k=1}^n(-1{)}^{1+k}{a}_{1k}det(A_{1k}),$$

wobei $A_{1k}$ die $(n-1)\times (n-1)$-Untermatrix ist, die man erhält, indem man die 1. Zeile und die k-te Spalte von $A$ streicht.

2.1 Laplace-Beispiel (2×2)

Sieht man sich eine 2×2-Matrix an, ist der Laplacesche Entwicklungssatz bereits eingebaut:

$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right).$

• Entwicklung nach Zeile 1 (hier: $n=2$ und es gibt genau zwei Spalten):

  $$det(A)=a\cdot (det([d]))+(-1{)}^{1+2}b\cdot det([c]),$$

  wobei

  • $det([d])=d$ (1×1-Matrix, Determinante = Eintrag),
  • $det([c])=c$,
  • und $(-1{)}^3=-1$.

  Summiert man das auf, ergibt sich

  $$a\cdot d-b\cdot c⟹ad-bc.$$

2.2 Laplace-Beispiel (3×3)

Für $A=\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right),$ wird bei der Entwicklung nach der ersten Zeile jeder Term zum Produkt »Matrixeintrag × Determinante der Untermatrix«.

Konkret:

$$det(A)=a\times \left|\begin{array}{cc}e& f\\ h& i\end{array}\right|-b\times \left|\begin{array}{cc}d& f\\ g& i\end{array}\right|+c\times \left|\begin{array}{cc}d& e\\ g& h\end{array}\right|.$$

Rechnet man jede 2×2-Determinante aus, bekommt man

$$a(e\cdot i-f\cdot h)-b(d\cdot i-f\cdot g)+c(d\cdot h-e\cdot g).$$

3. Dreiecksmatrizen

Sei $A\in K^{n\times n}$ eine Dreiecksmatrix (obere oder untere). Dann ist ihre Determinante das Produkt der Diagonaleinträge.

Beispiel:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 3& 4\\ 0& 0& 5\end{array}\right)\Rightarrow det(A)=1\cdot 3\cdot 5=15.$$

4. Spezialfall: $det(I)=1$

Die Einheitsmatrix $I$ hat Determinante 1, denn es handelt sich um eine spezielle Dreiecksmatrix mit lauter 1 auf der Hauptdiagonale.

5. Regel von Sarrus (3×3)

Eine Eselsbrücke für die 3×3-Determinante ist die Regel von Sarrus.
Man schreibt dazu die ersten beiden Spalten einer 3×3-Matrix rechts nochmal an und bildet bestimmte Diagonalen:

$\begin{array}{cccccc}a& b& c& |& a& b\\ d& e& f& |& d& e\\ g& h& i& |& g& h\end{array}$

Dann lautet die Determinante:

$det\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right)=(aei)+(bfg)+(cdh)-((ceg)+(bdi)+(afh)).$

Die positiven Diagonalen (links oben nach rechts unten) werden addiert,
die negativen Diagonalen (rechts oben nach links unten) werden subtrahiert.

6. Rechenregeln für Determinanten

Für die Determinante einer $n\times n$-Matrix $A$ gelten die folgenden fundamentalen Regeln:

1. Zeilenvertauschung: Vertauscht man zwei Zeilen (oder Spalten), ändert sich das Vorzeichen der Determinante.
2. Lineare Abhängigkeit: Die Determinante ist linear in jeder Zeile (und auch in jeder Spalte).
3. Zeilenaddition: Addiert man das Vielfache einer Zeile zu einer anderen, ändert sich die Determinante nicht.
4. Laplace-Entwicklung: Ermöglicht das Zerlegen einer Determinante in kleinere Determinanten.
5. Transposition: $det(A)=det(A^{\mathsf{T}})$.
6. Produktregel: $det(AB)=det(A)det(B)$.